1. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, sin∠BAC = 12/13. Найдите высоту AH

Пошаговое решение:

• Площадь треугольника можно выразить как половину произведения основания на высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \]
• Также площадь треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot sin∠BAC \]. Так как AC = BC, то \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC^2 \cdot sin∠BAC \]
• Приравняем оба выражения для площади: \[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AC^2 \cdot sin∠BAC \]
• Выразим AH: \[ AH = \frac{AC^2 \cdot sin∠BAC}{AB} \]
• Найдём AC. В прямоугольном треугольнике ABH: \[ sin∠BAC = \frac{BH}{AC} \], где BH = AB/2 = 6/2 = 3.
• Тогда: \[ AC = \frac{BH}{sin∠BAC} = \frac{3}{\frac{12}{13}} = \frac{3 \cdot 13}{12} = \frac{13}{4} \]
• Подставим значения в формулу для AH: \[ AH = \frac{(\frac{13}{4})^2 \cdot \frac{12}{13}}{6} = \frac{\frac{169}{16} \cdot \frac{12}{13}}{6} = \frac{\frac{13 \cdot 12}{16}}{6} = \frac{13 \cdot 12}{16 \cdot 6} = \frac{13 \cdot 2}{16} = \frac{13}{8} = 1.625 \]

Ответ: 1.625