В треугольнике ABC BC=3√6, ∠A=45°, ∠C=60°. Найдите АВ.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 45° - 60° = 75°$$.

Воспользуемся теоремой синусов: $$\frac{AB}{sin C} = \frac{BC}{sin A}$$.

Отсюда:

$$AB = \frac{BC \cdot sin C}{sin A} = \frac{3\sqrt{6} \cdot sin(60°)}{sin(75°)} = \frac{3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{sin(45° + 30°)} = \frac{3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)} = \frac{3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{18}}{ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{18\sqrt{12} - 36}{6 - 2} = \frac{36\sqrt{3} - 36}{4} = 9\sqrt{3} - 9$$.

Ответ: $$AB = 9\sqrt{3} - 9$$