Решение задачи 5

Рассмотрим треугольник ABC. Так как \(\angle C = 90^{\circ}\) и \(\angle A = 60^{\circ}\), то \(\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

Рассмотрим треугольник AKC. Так как \(\angle C = 90^{\circ}\) и \(\angle AKC = 60^{\circ}\), то \(\angle CAK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

Тогда \(\angle BAK = \angle A - \angle CAK = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\). Значит, AK - биссектриса угла A.

Рассмотрим треугольник ABK. Так как \(\angle B = 30^{\circ}\) и \(\angle BAK = 30^{\circ}\), то треугольник ABK - равнобедренный, и AK = BK = 12 см.

В прямоугольном треугольнике AKC катет CK лежит против угла в 30 градусов, следовательно, он равен половине гипотенузы AK. То есть, CK = AK / 2 = 12 / 2 = 6 см.