В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 18, \(tg \angle A = \frac{2\sqrt{22}}{9}\) Найдите длину стороны AC.

Ответ: 11

1. Определение косинуса угла A:

   Тангенс угла A равен \(\frac{2\sqrt{22}}{9}\). Чтобы найти косинус, воспользуемся формулой: \[\cos^2 A = \frac{1}{1 + tg^2 A}\] Подставим значение тангенса: \[\cos^2 A = \frac{1}{1 + (\frac{2\sqrt{22}}{9})^2} = \frac{1}{1 + \frac{4 \cdot 22}{81}} = \frac{1}{1 + \frac{88}{81}} = \frac{1}{\frac{81 + 88}{81}} = \frac{81}{169}\] Тогда, \[\cos A = \sqrt{\frac{81}{169}} = \frac{9}{13}\]

2. Теорема косинусов:

   По теореме косинусов для стороны AB: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A\] Так как AC = BC, то: \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos A\]

3. Выразим AC:

   Вынесем \(2AC^2\) за скобки: \[AB^2 = 2AC^2(1 - \cos A)\] Теперь выразим \(AC^2\): \[AC^2 = \frac{AB^2}{2(1 - \cos A)}\] Подставим значения AB = 18 и \(\cos A = \frac{9}{13}\): \[AC^2 = \frac{18^2}{2(1 - \frac{9}{13})} = \frac{324}{2(\frac{13 - 9}{13})} = \frac{324}{2 \cdot \frac{4}{13}} = \frac{324}{\frac{8}{13}} = \frac{324 \cdot 13}{8} = \frac{81 \cdot 13}{2} = \frac{1053}{2}\] Получаем: \[AC = \sqrt{\frac{324 \cdot 13}{8}} = \sqrt{\frac{4212}{8}} = \sqrt{\frac{1053}{2}}\] Очевидно, где-то ошибка. Попробуем решить через высоту.

4. Найдем высоту CH:

   Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC. Высота CH является также медианой. Значит, AH = HB = \(\frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\). В прямоугольном треугольнике AHC: \[tg A = \frac{CH}{AH}\] Отсюда: \[CH = AH \cdot tg A = 9 \cdot \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22}\]

5. Найдем AC:

   Теперь найдем AC по теореме Пифагора из треугольника AHC: \[AC^2 = AH^2 + CH^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 = 81 + 4 \cdot 22 = 81 + 88 = 169\] Тогда: \[AC = \sqrt{169} = 13\]

Ответ: 13