В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 25 и sin A = \frac{\sqrt{51}}{10} Найдите АC.

Ответ: \(\frac{5\sqrt{51}}{2}\)

1. Выразим BC через sin A:

   В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \[sin A = \frac{BC}{AB}\] Тогда: \[BC = AB \cdot sin A = 25 \cdot \frac{\sqrt{51}}{10} = \frac{5\sqrt{51}}{2}\]

2. Найдем AC по теореме Пифагора:

   По теореме Пифагора: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2\] Подставим известные значения: \[AC^2 = 25^2 - (\frac{5\sqrt{51}}{2})^2 = 625 - \frac{25 \cdot 51}{4} = 625 - \frac{1275}{4} = \frac{2500 - 1275}{4} = \frac{1225}{4}\] \[AC = \sqrt{\frac{1225}{4}} = \frac{35}{2} = 17.5\]

Ответ: 17.5