В треугольнике ABC проведена медиана BM, отрезки MK ∥ AB (K ∈ BC), KN ∥ AC (N ∈ AB). Найдите периметр четырёхугольника ANKC, если BK = 31 см, MC = 27 см, BN = 26 см.

Так как BM — медиана, M — середина AC. Поэтому AM = MC = 27 см, а AC = 54 см.

В треугольнике CBA отрезок MK проходит через середину AC и параллелен AB. По теореме о средней линии K — середина BC, поэтому KC = BK = 31 см.

Поскольку K — середина BC, BK = BC : 2. В треугольнике BAC отрезок KN параллелен AC, значит треугольники BKN и BAC подобны с коэффициентом 1 : 2. Следовательно, BN = NA = 26 см и NK = AC : 2 = 27 см.

Периметр ANKC равен AN + NK + KC + CA = 26 + 27 + 31 + 54 = 138 см.

Ответ: 138 см.