В треугольнике ABC (рис. 4) BM — медиана, MK перпендикулярна BC, S△AKM = 16. Найдите S△ABC.

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) является серединой стороны \(AC\), поэтому \(AM=MC\).

Треугольники \(ABM\) и \(MBC\) имеют равные основания \(AM\) и \(MC\), а их высоты к прямой \(AC\) одинаковы. Следовательно, \(S_{ABM}=S_{MBC}\).

Отрезок \(MK\) делит треугольник \(ABM\) на треугольники \(AKM\) и \(BKM\). По рисунку \(K\) — середина \(AB\), поэтому \(MK\) является медианой треугольника \(ABM\), и \(S_{AKM}=\frac12S_{ABM}\).

Тогда \(S_{ABM}=2\cdot16=32\), а \(S_{ABC}=2S_{ABM}=64\).

Ответ: 64.