В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точки M, H и K – середины сторон AB, BC, AC соответственно. Докажите, что треугольники AMK и KHC равны.

Дано: ΔABC, AB=BC, M, H, K - середины AB, BC, AC соответсвенно. Доказать: ΔAMK = ΔKHC. Доказательство: 1. Так как M - середина AB, то AM = MB. Так как H - середина BC, то BH = HC. Так как AB = BC, то AM = MB = BH = HC. 2. Так как K - середина AC, то AK = KC. 3. Отрезок MK является средней линией треугольника ABC, а значит, MK||BC и MK = 1/2 BC. Также KH является средней линией, следовательно KH||AB и KH= 1/2 AB. 4. Так как MK = 1/2 BC, а H- середина BC, то MK = CH. Так как KH = 1/2 AB, а M-середина AB, то KH = AM. 5. Так как AB=BC, и MK||BC, KH||AB, то четырехугольник MBHK - параллелограмм, а значит, ∠B = ∠MKH. 6. Рассмотрим треугольники ΔAMK и ΔKHC. У них: AM = CH (доказано в п.1), AK = KC (доказано в п.2), MK=KH (доказано в п. 4). Значит треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. Ответ: треугольники AMK и KHC равны.