348. В треугольнике ABC угол B - прямой. Найдите AC, если: a) cos A = 0,6, BA = 12; б) cos A = 0,8, BC = 18; в) sin A = \frac{5}{13}, BC = 10; г) sin A = \frac{5}{13}, BA = 36; д) tg A = 0,75, BA = 8; e) tg A = 2,4, BC = 12.

Решение: В прямоугольном треугольнике ABC (угол B - прямой) используем определения тригонометрических функций. a) \(cos A = \frac{BA}{AC} = 0,6\), \(BA = 12\) \[AC = \frac{BA}{cos A} = \frac{12}{0,6} = 20\] б) \(cos A = \frac{BA}{AC} = 0,8\), \(BC = 18\) Сначала найдем BA. \(sin^2 A + cos^2 A = 1\), следовательно, \(sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6\). \(sin A = \frac{BC}{AC}\). \[AC = \frac{BC}{sin A} = \frac{18}{0,6} = 30\] \[BA = AC \cdot cos A = 30 \cdot 0,8 = 24\] в) \(sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{13}\), \(BC = 10\) \[AC = \frac{BC}{sin A} = \frac{10}{\frac{5}{13}} = \frac{10 \cdot 13}{5} = 26\] г) \(sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{13}\), \(BA = 36\) Сначала найдем cos A. \(cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\). \(cos A = \frac{BA}{AC}\). \[AC = \frac{BA}{cos A} = \frac{36}{\frac{12}{13}} = \frac{36 \cdot 13}{12} = 39\] д) \(tg A = \frac{BC}{BA} = 0,75\), \(BA = 8\) \[BC = tg A \cdot BA = 0,75 \cdot 8 = 6\] \[AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\] е) \(tg A = \frac{BC}{BA} = 2,4\), \(BC = 12\) \[BA = \frac{BC}{tg A} = \frac{12}{2,4} = 5\] \[AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\] Ответы: a) AC = 20 б) AC = 30 в) AC = 26 г) AC = 39 д) AC = 10 е) AC = 13