347. В треугольнике ABC угол B - прямой. Найдите tg A, если: a) sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}; б) sin A = 0,6; в) cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}; г) cos A = \frac{5}{\sqrt{41}}

Решение: Так как угол B - прямой, мы имеем прямоугольный треугольник. \(tg A = \frac{sin A}{cos A}\). Используем основное тригонометрическое тождество \(sin^2 A + cos^2 A = 1\). a) Если \(sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то: \[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] \[cos A = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1\] б) Если \(sin A = 0,6 = \frac{3}{5}\), то: \[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\] \[cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0,8\] \[tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} = 0,75\] в) Если \(cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}\), то: \[sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\] \[sin A = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}\] \[tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = 3\] г) Если \(cos A = \frac{5}{\sqrt{41}}\), то: \[sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - \left(\frac{5}{\sqrt{41}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{41} = \frac{16}{41}\] \[sin A = \sqrt{\frac{16}{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}\] \[tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{4}{\sqrt{41}}}{\frac{5}{\sqrt{41}}} = \frac{4}{5} = 0,8\] Ответы: a) \(tg A = 1\) б) \(tg A = 0,75\) в) \(tg A = 3\) г) \(tg A = 0,8\)