345. В треугольнике ABC угол B - прямой. Найдите cos A, если: a) sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}; б) sin A = 0,8; в) sin A = \frac{24}{25}; г) sin A = \frac{3\sqrt{7}}{8}

Решение: Поскольку в треугольнике ABC угол B прямой, мы имеем дело с прямоугольным треугольником. Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 A + cos^2 A = 1\). a) Если \(sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то: \[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\] \[cos A = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\] б) Если \(sin A = 0,8 = \frac{4}{5}\), то: \[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\] \[cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} = 0,6\] в) Если \(sin A = \frac{24}{25}\), то: \[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}\] \[cos A = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25}\] г) Если \(sin A = \frac{3\sqrt{7}}{8}\), то: \[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{9 \cdot 7}{64} = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}\] \[cos A = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}\] Ответы: a) \(cos A = \frac{1}{2}\) б) \(cos A = 0,6\) в) \(cos A = \frac{7}{25}\) г) \(cos A = \frac{1}{8}\)