52. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 0,4, BC = 3√21. Найдите AB.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, и известен косинус угла A, а также длина стороны BC, мы можем найти длину гипотенузы AB. 1. **Найдём sin A:** Так как \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), то \( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \). Подставляем значение \( \cos A = 0.4 \): \( \sin^2 A = 1 - 0.4^2 = 1 - 0.16 = 0.84 \). Следовательно, \( \sin A = \sqrt{0.84} = \sqrt{\frac{84}{100}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \). 2. **Используем определение синуса угла A:** Синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \] Знаем, что \( BC = 3\sqrt{21} \) и \( \sin A = \frac{\sqrt{21}}{5} \). 3. **Найдём AB:** Подставляем известные значения в уравнение: \[ \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{3\sqrt{21}}{AB} \] Чтобы найти AB, перемножим крест-накрест: \[ AB \cdot \sqrt{21} = 5 \cdot 3\sqrt{21} \] \[ AB \cdot \sqrt{21} = 15\sqrt{21} \] Делим обе части на \( \sqrt{21} \): \[ AB = 15 \] Ответ: AB = 15.