13. В треугольнике АВС АС = ВС, AB = 8, cosA = 0,5. Найдите АС.

13. Дано: \(\triangle ABC\), \(AC = BC\), \(AB = 8\), \(\cos A = 0.5\). Найти: \(AC\).

Т.к. \(AC = BC\), то \(\triangle ABC\) - равнобедренный, а углы при основании равны, т.е. \(\angle A = \angle B\).

Следовательно, \(\angle A = 60^\circ\), т.к. \(\cos 60^\circ = 0.5\).

Тогда, \(\angle B = 60^\circ\).

По теореме косинусов:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\)

\(AB^2 = AC^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AC \cdot \cos C = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos C\)

Т.к. \(\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ\), то \(\cos C = 0.5\).

Тогда, \(8^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot 0.5 = 2AC^2 - AC^2 = AC^2\)

\(AC = \sqrt{64} = 8\)

Ответ: \(AC = 8\)