11. В треугольнике АВС АС = ВС, AB = 9,6, sinA=\frac{7}{25}. Найдите АС.

Ответ: 12.5

Решение:

• В треугольнике ABC, AC = BC, значит, треугольник равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle A = \angle B\).
• Дано: AB = 9.6, \(sinA = \frac{7}{25}\).
• Найти: AC.
• Используем теорему синусов: \[\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}\]
• Так как \(\angle A = \angle B\), то \(sinA = sinB = \frac{7}{25}\).
• Сумма углов в треугольнике равна 180° или \(\pi\) радиан. \(\angle C = \pi - \angle A - \angle B = \pi - 2A\).
• Используем формулу синуса двойного угла: \[sinC = sin(\pi - 2A) = sin(2A) = 2sinA \cdot cosA\]
• Найдем \(cosA\) из основного тригонометрического тождества: \[sin^2A + cos^2A = 1\] \[cosA = \sqrt{1 - sin^2A} = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\]
• Теперь найдем \(sinC\): \[sinC = 2sinA \cdot cosA = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}\]
• Подставим известные значения в теорему синусов: \[\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}\] \[\frac{9.6}{\frac{336}{625}} = \frac{AC}{\frac{7}{25}}\]
• Решим уравнение относительно AC: \[AC = \frac{9.6 \cdot \frac{7}{25}}{\frac{336}{625}} = \frac{9.6 \cdot 7 \cdot 625}{25 \cdot 336} = \frac{9.6 \cdot 7 \cdot 25}{336} = \frac{9.6 \cdot 175}{336} = \frac{1680}{134.4} = 12.5\]

Ответ: 12.5