14. В треугольнике АВС АС=BC=7, tgA=\frac{33}{4\sqrt{33}}. Найдите АВ.

Ответ: 2

Решение:

• Так как AC = BC = 7, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны, то есть \(\angle A = \angle B\).
• Дано: \(tgA = \frac{33}{4\sqrt{33}}\), нужно найти AB.
• Чтобы найти сторону AB, воспользуемся теоремой косинусов: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cosC\]
• Сначала найдем косинус угла A. Известно, что \(tgA = \frac{sinA}{cosA}\), и \(sin^2A + cos^2A = 1\). Выразим \(sinA\) через \(tgA\): \[sinA = tgA \cdot cosA\] Подставим в основное тригонометрическое тождество: \[(tgA \cdot cosA)^2 + cos^2A = 1\] \[cos^2A(tg^2A + 1) = 1\] \[cos^2A = \frac{1}{tg^2A + 1}\]
• Теперь найдем \(cosA\): \[cosA = \sqrt{\frac{1}{tg^2A + 1}} = \sqrt{\frac{1}{(\frac{33}{4\sqrt{33}})^2 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{33^2}{16 \cdot 33} + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{33}{16} + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{33 + 16}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}\]
• Угол C равен \(180^\circ - 2A\), тогда \(cosC = cos(180^\circ - 2A) = -cos(2A)\). Используем формулу косинуса двойного угла: \[cos(2A) = 2cos^2A - 1\]
• Подставим значение \(cosA\): \[cos(2A) = 2(\frac{4}{7})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{49} - 1 = \frac{32}{49} - 1 = \frac{32 - 49}{49} = -\frac{17}{49}\] Тогда \(cosC = -cos(2A) = \frac{17}{49}\).
• Подставим значения в теорему косинусов: \[AB^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \frac{17}{49} = 49 + 49 - 2 \cdot 49 \cdot \frac{17}{49} = 98 - 2 \cdot 17 = 98 - 34 = 64\] \[AB = \sqrt{64} = 8\]

Ответ: 8