11. В треугольнике АВС из вершин А и В проведены высоты, которые пересекаются в точке О. Чему равен угол АОВ, если ∠A = 60°, ∠B = 50°?

В треугольнике ABC угол ∠A = 60°, угол ∠B = 50°.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B$$ $$∠C = 180° - 60° - 50°$$ $$∠C = 70°$$

Из вершин A и B проведены высоты, значит углы, образованные высотами и сторонами BC и AC, прямые, то есть равны 90°.

Рассмотрим четырёхугольник, образованный вершинами C, точкой пересечения высот O и основаниями высот на сторонах AC и BC (обозначим их H1 и H2).

Сумма углов в четырёхугольнике CH1OH2 равна 360°.

∠CH1O = 90° (высота)

∠CH2O = 90° (высота)

$$∠H1OH2 = 360° - ∠CH1O - ∠CH2O - ∠C$$ $$∠H1OH2 = 360° - 90° - 90° - 70°$$ $$∠H1OH2 = 110°$$

∠AOB и ∠H1OH2 - вертикальные, следовательно, равны.

$$∠AOB = ∠H1OH2 = 110°$$

Ответ: ∠AOB = 110°