4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите катет АС, если ВМ = 6 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$\angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - (30° + 90°) = 60°$$

2. ВМ - биссектриса, следовательно, $$\angle ABM = \angle CBM = 30°$$

3. Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$\angle BMA = 180° - (\angle A + \angle ABM) = 180° - (30° + 30°) = 120°$$

4. Угол BMA и угол BMC - смежные. Сумма смежных углов равна 180°.

$$\angle BMC = 180° - 120° = 60°$$

5. Рассмотрим треугольник BMC. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$\angle BCM = 180° - (\angle BMC + \angle CBM) = 180° - (60° + 30°) = 90°$$

6. Рассмотрим треугольник ABM. По теореме синусов:$$\frac{BM}{sin A} = \frac{AM}{sin ABM}$$, тогда $$\frac{6}{sin 30°} = \frac{AM}{sin 30°}$$, AM = 6.

7. Рассмотрим треугольник ABC. $$\frac{AC}{AB} = cos A = cos 30°$$

8. AB = AM + MB = 6 + 6 = 12

$$\frac{AC}{12} = cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$AC = 12 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

Ответ: $$6\sqrt{3}$$