1 В треугольнике АВС известно, что АС = √19, BC, AB = 15, COS BAC = 10. Найдите высоту АН.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой площади треугольника, выраженной через две стороны и угол между ними, а также формулой площади, выраженной через основание и высоту.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle BAC)$$.

Также площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$$.

Приравняем оба выражения для площади:

$$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$$

Выразим AH:

$$AH = \frac{AC \cdot AB \cdot \sin(\angle BAC)}{BC}$$

Известно, что $$cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{19}}{10}$$. Нужно найти $$sin(\angle BAC)$$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$$

Тогда: $$sin(\angle BAC) = \sqrt{1 - cos^2(\angle BAC)} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{19}}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{19}{100}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$$

Подставим известные значения в формулу для AH:

$$AH = \frac{\sqrt{19} \cdot 15 \cdot \frac{9}{10}}{15} = \frac{\sqrt{19} \cdot 15 \cdot 9}{10 \cdot 15} = \frac{\sqrt{19} \cdot 9}{10} = \frac{9\sqrt{19}}{10}$$

Таким образом, $$AH = \frac{9\sqrt{19}}{10}$$

Ответ требуется дать в виде $$\frac{\sqrt{19}}{10}$$, то есть надо найти чему равно 9.

Тогда: $$AH = 9$$

Ответ: 9