25 В треугольнике АВС известно, что АВ = 36, АС = 54, точка О центр окруж- ности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке Д. Найдите CD.

Т.к. BD перпендикулярна AO, то угол ADB = 90°.

Т.к. AO - радиус окружности, описанной около треугольника ABC, то AO = BO = CO = R.

Угол BAO = углу ABO как углы при основании равнобедренного треугольника ABO (AO = BO = R).

Угол CAO = углу ACO как углы при основании равнобедренного треугольника ACO (AO = CO = R).

Пусть угол BAO = α, угол CAO = β, тогда угол BAC = α + β.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°, следовательно угол ABC = 180° - (α + β) - β = 180° - α - 2β.

Треугольник ABD - прямоугольный, тогда угол ABD = 90° - α.

Угол CBD = углу ABC - углу ABD = (180° - α - 2β) - (90° - α) = 90° - 2β.

Т.к. BD перпендикулярна AO, то угол AOD = 90°, а значит угол COD = 180° - угол AOD = 180° - 90° = 90°.

Т.к. CO = R, то треугольник COD - прямоугольный, следовательно CD = AC - AD = 54 - AD.

Т.к. углы BOC и BAC - вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, то угол BOC = 2 * угол BAC = 2 * (α + β).

Рассмотрим треугольники ABO и CBO. AO = CO = R, углы BAO = ACO = α + β, следовательно треугольники ABO и CBO подобны по двум углам.

Тогда AB / BC = AO / CO = BO / BO = 1.

Следовательно AB = BC = 36.

В прямоугольном треугольнике ABD: AD = AB * cos(α + β) = 36 * cos(α + β).

AC = AD + DC, откуда DC = AC - AD = 54 - 36 * cos(α + β).

Ответ: нет решения