15. В треугольнике АВС известно, что AB=BC=24, ∠ABC=120°, ВК - биссектри- са. Найдите длину отрезка ВК.

Рассмотрим треугольник АВС. Так как AB = BC, то треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС. ВК – биссектриса угла АВС, а в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно, ВК ⊥ АС, значит, треугольник АВК – прямоугольный, ∠АВК = ∠АВС/2 = 120°/2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике АВК катет ВК лежит против угла ∠ВАК = 30° (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Зная, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, можно записать:

$$BK = AB \cdot cos(60^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$

Ответ: 12