17.В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ И ∠ACD=143°. Найдите угол между диаго- налями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ и ∠ACD=143°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Пусть AB = x, тогда AC = 2x.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть AB = CD = x.
3. Рассмотрим треугольник ACD. В нём AC = 2x, CD = x, и ∠ACD = 143°.
4. Найдем угол CAD: $$∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC$$
5. Так как ABCD - параллелограмм, то ∠ADC = ∠ABC.
6. По теореме синусов: $$\frac{AC}{\sin ∠ADC} = \frac{CD}{\sin ∠CAD}$$
7. Подставим известные значения: $$\frac{2x}{\sin ∠ADC} = \frac{x}{\sin ∠CAD}$$
8. Сократим на x: $$\frac{2}{\sin ∠ADC} = \frac{1}{\sin ∠CAD}$$
9. Тогда: $$\sin ∠ADC = 2 \sin ∠CAD$$
10. Пусть ∠CAD = α, тогда ∠ADC = 180° - 143° - α = 37° - α.
11. Подставим в уравнение: $$\sin (37° - α) = 2 \sin α$$
12. Получим α = 12°.
13. ∠ADC = 168°.
14. ∠BAC = 12°.
15. Угол между диагоналями параллелограмма найдем как: $$∠COB = ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB$$ $$\sin AOC = \sin COB$$ $$\sin BOC = (37° - 12°) = 25$$ $$\frac{OC}{\sin ABO} = \frac{AB}{\sin COB} $$ $$\sin ABC = 22\sin CAD$$

Ответ: нет решения