25 В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 28, АС=56, точка 0 - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке Д. Найдите CD.

1. Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
• \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle BAC) \)
• Если предположить, что \( \angle BAC = 60^\circ \), то \( cos(\angle BAC) = \frac{1}{2} \)
• Тогда \( BC^2 = 28^2 + 56^2 - 2 \cdot 28 \cdot 56 \cdot \frac{1}{2} = 28^2 + 56^2 - 28 \cdot 56 = 784 + 3136 - 1568 = 2352 \)
• \( BC = \sqrt{2352} = 28\sqrt{3} \)
2. Поскольку BD перпендикулярна AO, то \( \angle ADB = 90^\circ \).
3. Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ABC. У них общий угол A.
4. \( \angle ABD = \angle ACB \) (вписанные, опираются на одну дугу).
5. Следовательно, треугольники ABD и ABC подобны по двум углам.
6. Из подобия следует:
• \( \frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} \)
• \( AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{28^2}{56} = \frac{784}{56} = 14 \)
7. Найдем CD:
• \( CD = AC - AD = 56 - 14 = 42 \)

Ответ: 42