25. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=28, АС=56, точка О — центр окруж- ности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Обозначим радиус описанной окружности как R.

Применим теорему синусов для треугольника ABC:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = 2R$$

Нам дано AB = 28 и AC = 56. Значит, $$AC = 2 \cdot AB$$.

AO = R

BD перпендикулярна AO.

Рассмотрим треугольники ABD и AOC.

По условию BD перпендикулярна AO, следовательно, угол между ними 90 градусов.

Угол BAD = углу CAO (так как AD - секущая).

Угол ABD = углу ACO (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

Из подобия треугольников ABD и AOC следует:

$$\frac{AD}{AO} = \frac{AB}{AC}$$

$$\frac{AD}{R} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$$

$$AD = \frac{1}{2}R$$

Поскольку AC = AD + DC, то

$$DC = AC - AD = 56 - \frac{1}{2}R$$

Нам необходимо найти радиус R. Так как $$AC = 2AB$$, предположим, что треугольник ABC - прямоугольный, с углом B = 90 градусов.

Тогда центр описанной окружности находится в середине гипотенузы AC.

Следовательно, радиус R = AC / 2 = 56 / 2 = 28.

Теперь найдем CD:

$$CD = 56 - \frac{1}{2} \cdot 28 = 56 - 14 = 42$$

Ответ: 42