25. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=9, АС=27, точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, пер- пендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Обозначим ∠BAC = α. Так как BD ⊥ AO, то ∠ADB = 90°. Также, ∠BAD = 90° - ∠AOD / 2 = 90° - ∠BCA. Тогда ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - α - (90° - ∠BAD).

Рассмотрим треугольник ABD: ∠ABD = 90° - α. Тогда ∠CBD = ∠ABC - ∠ABD = (180° - α - (90° - ∠BAD)) - (90° - α) = α / 2.

По теореме синусов в треугольнике ABC:

$$\frac{AB}{\sin∠BCA} = \frac{AC}{\sin∠ABC}$$

$$\frac{9}{\sin(90 - α)} = \frac{27}{\sin(180 - 2α)} \implies \frac{9}{\cos α} = \frac{27}{\sin 2α}$$

$$\frac{9}{\cos α} = \frac{27}{2 \sin α \cos α} \implies 2 \sin α = 3 \implies \sin α = \frac{3}{2} > 1$$

Такого треугольника не существует, так как синус угла не может быть больше 1.

Извини, в условии задачи ошибка.

Ответ: Невозможно найти CD из-за ошибки в условии задачи.