3. В треугольнике АВС на равных сторонах АВ и ВС отмечены точки МиК соответственно, а на высоте BF - точка Р, при- чем точки Р, М и К не лежат на одной прямой и ВМ-ВК. Докажите, что а) ∠BMP=/ВКР б) ∠КМР=/РКМ

3. В треугольнике ABC на равных сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно, а на высоте BF - точка P, причем точки P, M и K не лежат на одной прямой и BM = BK.

Дано: AB = BC, BM = BK, BP - высота.

Доказать:

а) ∠BMP = ∠BKP

б) ∠KMP = ∠PKM

Доказательство:

а) Рассмотрим треугольники BMP и BKP.

BP - общая сторона,

BM = BK (по условию),

∠MBP = ∠KBP (так как BP - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABС, является биссектрисой).

Следовательно, треугольники BMP и BKP равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BMP = ∠BKP.

б) Так как треугольники BMP и BKP равны, то MP = KP.

Рассмотрим треугольник MPK. В этом треугольнике MP = KP, то есть треугольник MPK - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠KMP = ∠PKM.

Ответ: доказано.