3. В треугольнике АВС на равных сторонах АВ и ВС отмечены точки РиК соответственно, а на медиане ВЕ - точка М, при- чем точки Р, М и К не лежат на одной прямой. Углы ВМР и ВМК равны. а) ∠BPM=/ВКМ б) РК BM

3. В треугольнике ABC на равных сторонах AB и BC отмечены точки P и K соответственно, а на медиане BE - точка M, причем точки P, M и K не лежат на одной прямой. Углы BMP и BMK равны.

Дано: AB = BC, BP = BK, BM - медиана, ∠BMP = ∠BMK.

Доказать:

а) ∠BPM = ∠BKM

б) PK ⊥ BM

Доказательство:

а) Рассмотрим треугольники BMP и BMK.

BM - общая сторона,

BP = BK (по условию),

∠BMP = ∠BMK (по условию).

Следовательно, треугольники BMP и BMK равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BPM = ∠BKM.

б) Так как треугольники BMP и BMK равны, то MP = MK.

Рассмотрим треугольник MPK. В этом треугольнике BM - медиана, так как M - середина PK.

Так как MP = MK, то треугольник MPK - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.

Следовательно, BM - высота треугольника MPK, то есть BM ⊥ PK.

Ответ: доказано.