В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C = 13° и АК = СК.

Решение:

В треугольнике АВС биссектриса АК. Дано \( \angle C = 13^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник АСК. По условию \( AK = CK \), значит, треугольник АСК равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

\( \angle CAK = \angle C = 13^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике АСК равна 180°:

\( \angle AKC = 180^{\circ} - (\angle CAK + \angle C) = 180^{\circ} - (13^{\circ} + 13^{\circ}) = 180^{\circ} - 26^{\circ} = 154^{\circ} \).

Угол \( \angle AKB \) смежный с \( \angle AKC \), поэтому:

\( \angle AKB = 180^{\circ} - \angle AKC = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ} \).

АК — биссектриса, значит, делит \( \angle BAC \) пополам: \( \angle BAK = \angle CAK = 13^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник АВК. Сумма углов в треугольнике АВК равна 180°:

\( \angle B + \angle BAK + \angle AKB = 180^{\circ} \)

\( \angle B + 13^{\circ} + 26^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle B + 39^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle B = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ} \).

Ответ: 141