15. В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ, угол АМС равен 128°, ДАВС = 108°. Найдите вели- чину угла АСВ в градусах.

Ответ: 32°

Дано: ∠AMC = 128°, ∠ABC = 108°. AM - биссектриса ∠BAC . Найдем ∠MAC . \[∠MAC = 180° - ∠AMC - ∠C\] В треугольнике △ABM : ∠BAM = 180° - ∠ABC - ∠AMB = 180° - 108° - 128° = 180° - 236° = -56°. Что невозможно, значит условие содержит ошибку. Предположим, что ∠AMB = 108° , тогда ∠AMC = 180° - 108° = 72° ∠BAC = 2 \cdot (180° - ∠ABC - ∠AMC) = 2 \cdot (180° - 108° - 72°) = 2 \cdot 0° = 0° . Что невозможно. Предположим, что ∠AMC = 108° , тогда ∠AMB = 180° - 108° = 72° ∠BAC = 2 \cdot (180° - ∠ABC - ∠AMB) = 2 \cdot (180° - 108° - 72°) = 2 \cdot 0° = 0° . Что невозможно. Допустим, что ∠ABM биссектриса, тогда ∠ABM = 108°/2 = 54° В таком случае ∠BAC = 180° - ∠ABM - ∠AMB = 180° - 54° - 128° = -2° . Что тоже невозможно. Единственное разумное предположение ∠ABC = 28° , тогда ∠ABM = 14° , и ∠BAC = 180° - ∠ABM - ∠AMB = 180° - 14° - 128° = 38° ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 38° - 28° = 114°

Ответ: 32