В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите величину угла ВСЕ, если ∠ВАС=46° и ∠АВС=78°. ИЛИ В треугольнике АВС на стороне АС отметили произвольную точку М. В треугольнике АВМ провели биссектрису МК. В треугольнике СВМ построили высоту МР. Угол КМР равен 90°, СМ =12. Найдите ВМ.

Решение первой задачи:

1. Шаг 1: Найдем угол АСВ в треугольнике АВС. Сумма углов в треугольнике равна 180°:
   
   • \( ∠АСВ = 180° - ∠ВАС - ∠АВС \)
   • \( ∠АСВ = 180° - 46° - 78° = 56° \)
2. Шаг 2: Так как СЕ — биссектриса угла АСВ, то угол ВСЕ равен половине угла АСВ:
   
   • \( ∠ВСЕ = \frac{1}{2} ∠АСВ = \frac{1}{2} \cdot 56° = 28° \)

Решение второй задачи:

1. Шаг 1: В треугольнике КМР угол КМР равен 90°, значит, треугольник КМР — прямоугольный.
2. Шаг 2: Треугольник АВМ: МК - биссектриса, угол КМР = 90° => ВМ перпендикулярна АС.
3. Шаг 3: Треугольник СВМ: МР - высота и биссектриса => СВМ равнобедренный, СМ = ВМ.

Ответ: В первой задаче ∠ВСЕ = 28°. Во второй задаче ВМ = 12.