3. В треугольнике АВС проведена прямая К№ AC = 6.

Из условия следует, что прямая KN - серединный перпендикуляр к стороне BC, а также BK = 4 и AC = 6.

Необходимо найти AK:KC.

Поскольку прямая KN - серединный перпендикуляр к стороне BC, то она пересекает BC под прямым углом и делит её пополам. Обозначим точку пересечения KN и BC как точку D. Значит, BD = DC.

Так как KN перпендикулярна BC, то ∠KDB = 90°.

К сожалению, недостаточно данных для решения задачи. Неизвестно, где находится точка N, и как она связана с точками A и C. Неизвестно, является ли треугольник ABC равнобедренным или равносторонним.

Допустим, что точка N лежит на стороне AC. Тогда KN - высота, медиана и биссектриса в треугольнике KBC, значит, треугольник KBC равнобедренный, KB = KC = 4.

AK = AC - KC = 6 - 4 = 2.

AK:KC = 2:4 = 1:2.

Ответ: 1:2 (при условии, что точка N лежит на стороне AC и треугольник KBC равнобедренный)