25. В треугольнике АВС стороны равны 5, 6 и 9. Найдите ради окружности, описанной около треугольника.

По формуле Герона найдем площадь треугольника:

$$p = \frac{5+6+9}{2} = 10$$

$$S = \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

Радиус описанной окружности найдем по формуле:

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 9}{4 \cdot 10\sqrt{2}} = \frac{270}{40\sqrt{2}} = \frac{27}{4\sqrt{2}} = \frac{27\sqrt{2}}{8}$$

Ответ: $$\frac{27\sqrt{2}}{8}$$