7. В треугольнике АВС угол C равен 90°, высота СН равна 7, ВН = 24. Найдите cosA.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Сначала найдем катет BC, затем гипотенузу AB и, наконец, косинус угла A.

Рассмотрим треугольник CHB, он прямоугольный. По теореме Пифагора найдем BC: \[BC = \sqrt{CH^2 + BH^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\]
Рассмотрим треугольник ABC, он прямоугольный. Высота CH, проведенная к гипотенузе, делит треугольник ABC на два подобных треугольника, подобных исходному. Следовательно, треугольник ACH подобен треугольнику ABC. Из подобия следует, что угол A - общий.
Выразим косинус угла B через тангенс угла A \[tg A = \frac{BC}{AC}\] \[cos A = \frac{AC}{AB}\]
Найдем AB: \[\frac{BH}{AB} = \frac{CH}{AC}\] \[\frac{24}{AB} = \frac{7}{AC}\] \[AC = \frac{7AB}{24}\]
По теореме Пифагора найдем AB \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[AB^2 = (\frac{7AB}{24})^2 + 25^2\] \[AB^2 - \frac{49AB^2}{576} = 625\] \[\frac{527AB^2}{576} = 625\] \[AB^2 = \frac{625 \cdot 576}{527}\] \[AB = \sqrt{\frac{625 \cdot 576}{527}} = \frac{25 \cdot 24}{\sqrt{527}} = \frac{600}{\sqrt{527}}\]
Найдем косинус угла A \[cos A = \frac{AC}{AB}\] \[cos A = \frac{7 \cdot \frac{600}{\sqrt{527}}}{24 \cdot \frac{600}{\sqrt{527}}} = \frac{7}{24}\]

Ответ: \(\frac{7}{24}\)