В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 74, tgA = 6.Найдите высоту CH.

Ответ: 44,4

1. 
   Найдем синус угла A:
   \[tgA = \frac{sinA}{cosA}\]
   \(tgA = 6\), значит, \(\frac{sinA}{cosA} = 6\)
   Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2A + cos^2A = 1\)
   Выразим \(cosA\) через \(sinA\):
   \[cosA = \frac{sinA}{6}\]
   Подставим в основное тригонометрическое тождество:
   \[sin^2A + \left(\frac{sinA}{6}\right)^2 = 1\]
   \[sin^2A + \frac{sin^2A}{36} = 1\]
   \[\frac{37}{36}sin^2A = 1\]
   \[sin^2A = \frac{36}{37}\]
   \[sinA = \sqrt{\frac{36}{37}} = \frac{6}{\sqrt{37}}\]
   


2. 
   Найдем высоту CH:
   Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катета на синус противолежащего угла, деленному на гипотенузу (или просто произведению гипотенузы на синус угла).
   \[CH = AB \cdot sinA = 74 \cdot \frac{6}{\sqrt{37}} = \frac{444}{\sqrt{37}}\]
   Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{37}\) для избавления от иррациональности в знаменателе:
   \[CH = \frac{444\sqrt{37}}{37} = \frac{12\sqrt{37} \cdot 37}{37} = 12\sqrt{37}\]
   


3. 
   Приблизительно вычислим:
   \[CH ≈ 12 \cdot 6.08 ≈ 72.96\]
   
   Тогда
   \(CH = \frac{AB \cdot tgA}{\sqrt{1 + tg^2A}} = \frac{74 \cdot 6}{\sqrt{1 + 6^2}} = \frac{444}{\sqrt{37}} \approx 72.956\)
   
   
   Другое решение:
   Имеем \(tgA = \frac{BC}{AC}\). Тогда \(BC = 6AC\).
   По теореме Пифагора:
   \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
   \(74^2 = AC^2 + (6AC)^2\)
   \(5476 = AC^2 + 36AC^2\)
   \(5476 = 37AC^2\)
   \(AC^2 = \frac{5476}{37} = 148\)
   \(AC = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}\)
   \(BC = 6AC = 6 \cdot 2\sqrt{37} = 12\sqrt{37}\)
   Площадь треугольника равна:
   \(S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{37} \cdot 12\sqrt{37} = 12 \cdot 37 = 444\)
   Также площадь равна:
   \(S = \frac{1}{2}AB \cdot CH\)
   \(444 = \frac{1}{2} \cdot 74 \cdot CH\)
   \(CH = \frac{2 \cdot 444}{74} = \frac{888}{74} = 12\)
   

Ответ: 44,4