В треугольнике АВС угол С равен 90°, высота СН равна 3, BC = 12. Найдите COSA.

Ответ: \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Чтобы найти \(cosA\), нужно знать длину катета AC и гипотенузы AB.


2. Выразим \(AC\) через \(cosA\) из треугольника ACH:
   \(AC = \frac{CH}{sinA}\)


3. Рассмотрим треугольник BHC. Угол HBC является дополнением к углу A, поэтому \(cos∠HBC = sinA\).


4. Запишем выражение для \(cos∠HBC\):
   \[cos∠HBC = \frac{BH}{BC}\]
   Отсюда \(sinA = \frac{BH}{BC}\).


5. В треугольнике BHC по теореме Пифагора найдем BH:
   \[BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{12^2 - 3^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}\]


6. Подставим найденное значение в \(sinA\):
   \[sinA = \frac{3\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{15}}{4}\]


7. Теперь найдем косинус угла A, используя основное тригонометрическое тождество:
   \[cos^2A + sin^2A = 1\]
   \[cos^2A = 1 - sin^2A\]
   \[cos^2A = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}\]
   \[cosA = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\]
   

Ответ: \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)