В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 25, sin A = \(\frac{4}{5}\). Найдите длину стороны АС.

Ответ: AC = 15

Решение:

1. Найдем косинус угла A, зная синус угла A. Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

2. Косинус угла A в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

\[\cos A = \frac{AC}{AB}\]

Из этого следует, что

\[AC = AB \cdot \cos A = 25 \cdot \frac{3}{5} = 15\]

Ответ: AC = 15