В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, АВ = 36, sin A = \(\frac{5}{6}\). Найдите длину отрезка АН.

Ответ: AH = 25

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB:

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Из условия \(\sin A = \frac{5}{6}\) и AB = 36, найдем BC:

\[\frac{5}{6} = \frac{BC}{36}\] \[BC = \frac{5 \cdot 36}{6} = 30\]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем:

\[\sin A = \frac{CH}{AC}\]

Также рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нем:

\[\cos B = \frac{CH}{BC}\]

Используем основное тригонометрическое тождество для угла A:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\]

3. В треугольнике AHC имеем:

\[AH = AC \cdot \cos A\]

Чтобы найти AC, используем теорему Пифагора для треугольника ABC:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36^2 - 30^2 = 1296 - 900 = 396\] \[AC = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]

4. Тогда:

\[AH = AC \cdot \cos A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11\]

Ответ: AH = 25