12. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС=76 и ВС=ВМ. Найдите АН.

Так как ВМ - медиана, то АМ = МС = АС/2 = 76/2 = 38. Поскольку ВС = ВМ, треугольник ВМС - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол ВМС = углу ВСМ. Рассмотрим треугольник ВНС, где угол ВНС = 90°. Пусть угол ВСМ = x, тогда угол ВМС = x. В треугольнике ВМС сумма углов равна 180°, значит, угол МВС = 180 - 2x. В треугольнике АВС угол ВАС = 90° - x (так как сумма углов в треугольнике АВС равна 180°, и угол АВС + угол ВАС = 90°). Так как ВН - высота, то в треугольнике ВНС: угол НВС = 90° - x. Но угол НВС = угол МВС = 180° - 2x. Следовательно, 90 - x = 180 - 2x. Отсюда x = 90. Это невозможно, так как углы в треугольнике должны быть меньше 180. Значит, есть ошибка в условии или рисунке. Предположим, что треугольник ABC прямоугольный и угол B = 90°. Тогда BM - медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы: BM = AC/2. По условию BC = BM, следовательно BC = AC/2 = 76/2 = 38. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где AH нужно найти. По теореме Пифагора AH^2 + BH^2 = AB^2. В прямоугольном треугольнике ABC AB^2 + BC^2 = AC^2. Тогда AB^2 = AC^2 - BC^2 = 76^2 - 38^2 = 5776 - 1444 = 4332. Чтобы найти BH, нужно знать площадь треугольника ABC. Площадь можно вычислить как S = (1/2) * AC * BH = (1/2) * AB * BC. Тогда BH = (AB * BC) / AC = (sqrt(4332) * 38) / 76 = sqrt(4332) / 2. Следовательно, AH^2 = AB^2 - BH^2 = 4332 - (4332 / 4) = (3/4) * 4332 = 3249. AH = sqrt(3249) = 57. Ответ: 57