2. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН – высота. Известно, что АС = 216, НС = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 110°

Решение:

Шаг 1: Находим AH

Т.к. АС = 216, НС = 54, то АН = АС - НС = 216 - 54 = 162.

Шаг 2: Находим ВН

В прямоугольном треугольнике BHC:

BH = HC * tg(40°) = 54 * tg(40°)

Шаг 3: Находим угол HBA

В прямоугольном треугольнике ABH:

tg(HBA) = AH / BH = 162 / (54 * tg(40°)) = 3 / tg(40°)

HBA = arctg(3 / tg(40°)) ≈ 76.2°

Шаг 4: Находим угол ABM

Т.к. ВМ - медиана, то AM = MC = AC / 2 = 216 / 2 = 108.

Тогда MH = AM - AH = 108 - 162 = -54. Т.е. точка H лежит правее точки M.

HB = AH * tg(HBA) = 162 * tg(76.2°) ≈ 661.7

В прямоугольном треугольнике MBH:

tg(MBH) = MH / HB = 54 / 661.7 ≈ 0.0816

MBH = arctg(0.0816) ≈ 4.67°

Тогда угол MBA = HBA - MBH = 76.2° - 4.67° = 71.53°

Шаг 5: Находим угол BAM

В треугольнике ABC:

BAC = 180° - 40° - HBA = 180° - 40° - 76.2° ≈ 63.8°

Шаг 6: Находим угол AMB

В треугольнике ABM:

AMB = 180° - MBA - BAM = 180° - 71.53° - 63.8° = 44.67°

Шаг 7: Находим угол AMB

Т.к. ВН - высота, то угол ВНС = 90°

Тогда угол АМВ = 180° - 44.67° = 135.33°

Ответ: 135.33°