5. В треугольнике MNF известно, что ZN=90°, ZM=30°, отрезок FD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

В треугольнике MNF угол N равен 90°, угол M равен 30°. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, угол F равен $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. FD - биссектриса угла F, следовательно, угол NFD равен половине угла F и равен $$60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$$.

В треугольнике NFD угол N равен 90°, угол NFD равен 30°, следовательно, катет ND, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы FD. ND = $$20 / 2 = 10$$ см.

Угол M равен 30°, следовательно, катет NF, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы MF. Пусть NF = x, тогда MF = 2x. По теореме Пифагора: $$MN^2 + NF^2 = MF^2$$. $$MN^2 + x^2 = (2x)^2$$. $$MN^2 + x^2 = 4x^2$$. $$MN^2 = 3x^2$$. $$MN = x\sqrt{3}$$.

В треугольнике NFD по теореме Пифагора: $$NF^2 = ND^2 + FD^2$$. $$x^2 = 10^2 + 20^2$$. $$x^2 = 100 + 400$$. $$x^2 = 500$$. $$x = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$$.

Следовательно, $$MN = 10\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{15}$$ см.

Ответ: $$10\sqrt{15}$$ см.