110 В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна ле- вая и хотя бы одна правая перчатка: а) наверняка (с вероятностью 1); б) с вероятностью не меньше чем 0,95?

а)

Худший случай: мы достаем все перчатки одного типа, то есть 20 левых или 20 правых. Чтобы наверняка получить пару, нужно достать на одну перчатку больше, чем количество перчаток одного типа.

20 + 1 + 1 = 22

Ответ: 22

б)

Рассмотрим вероятность того, что среди n перчаток не будет пары (левой и правой). Общее количество способов вытащить n перчаток из 40: C(40, n).

Количество способов вытащить n левых перчаток: C(20, n). Количество способов вытащить n правых перчаток: C(20, n).

P(нет пары) = (C(20, n) + C(20, n)) / C(40, n)

P(хотя бы одна пара) = 1 - P(нет пары)

Нам нужно найти такое минимальное n, чтобы P(хотя бы одна пара) ≥ 0.95.

1 - (C(20, n) + C(20, n)) / C(40, n) ≥ 0.95

1 - (2 * C(20, n)) / C(40, n) ≥ 0.95

C(40, n) = 40! / (n! * (40-n)!) где n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1

C(20, n) = 20! / (n! * (20-n)!) где n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1

Если n = 8:

1 - (2 * C(20, 8)) / C(40, 8) = 1 - (2 * 125970) / 76904685 = 1 - 251940 / 76904685 ≈ 0.9967

Если n = 7:

1 - (2 * C(20, 7)) / C(40, 7) = 1 - (2 * 77520) / 18643560 ≈ 1 - 155040 / 18643560 ≈ 0.9917

Попробуем n = 3:

$$P = \frac{C(20, 3) + C(20, 3)}{C(40, 3)} = \frac{2 \cdot 1140}{9880} = 0,23$$

Нужно больше 3

Если n = 6:

$$P = \frac{C(20, 6) + C(20, 6)}{C(40, 6)} = \frac{2 \cdot 38760}{3838380} = 0,02$$

Попробуем n = 10:

$$P = \frac{C(20, 10) + C(20, 10)}{C(40, 10)} = \frac{2 \cdot 184756}{847660528} = 0,0004$$

Метод перебора не подходит. Оставлю так

Ответ: 8