В1. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам и образует с диагональю BD угол 30°, AB = 10 см. Найдите периметр параллелограмма.

Пусть высота из вершины A пересекает сторону \(CD\) в точке H. По условию H — середина CD, а \(AB=CD=10\) см, поэтому \(CH=HD=5\) см.

В прямоугольном треугольнике \(BHD\) угол между высотой \(AH\) и диагональю \(BD\) равен \(30^\circ\). Так как \(AH\perp CD\), угол \(HBD=60^\circ\). Тогда

\(\tan 60^\circ=\dfrac{HD}{BH}=\dfrac{5}{BH}\), откуда \(BH=\dfrac{5}{\sqrt3}\).

Поскольку \(AB\parallel CD\), горизонтальная проекция стороны \(AD\) равна \(CH=5\), а высота равна \(AH=BH\tan30^\circ=\dfrac{5}{3}\). Поэтому

\(AD=\sqrt{5^2+\left(\dfrac53\right)^2}=\dfrac{5\sqrt{10}}{3}\).

Следовательно, \(P=2(AB+AD)=20+\dfrac{10\sqrt{10}}{3}\) см.

Ответ: \(20+\dfrac{10\sqrt{10}}{3}\) см.