В1. В прямоугольной трапеции большая диагональ равна 17см, большее основание равно 15, меньшее основание равно 9см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Обозначения: Пусть трапеция ABCD, AB || CD. AB = 15 (большее основание), CD = 9 (меньшее основание). Большая диагональ AC = 17.
2. Высота трапеции: Проведем высоту BH из вершины B на основание AC. В прямоугольном треугольнике BHC, BC - боковая сторона, HC - часть большего основания. Проведем высоту BK из вершины B на основание AD. В прямоугольном треугольнике AKB, AB=15, BK=h.
3. Используем свойства прямоугольной трапеции: Пусть AD - боковая сторона, тогда AD перпендикулярна основаниям. AD = h.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей диагональю, большим основанием и высотой: Проведем высоту из вершины C на большее основание AB. Пусть она будет CK. Тогда AK = 9, KB = 15 - 9 = 6.
5. Найдем высоту: В прямоугольном треугольнике ACK, $$AC^2 = AK^2 + CK^2$$ (если AC - диагональ). У нас AC = 17. Однако, AC - это диагональ, а не боковая сторона.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей диагональю, меньшим основанием и боковой стороной: Проведем высоту из вершины D на большее основание AB, пусть она будет DE. Тогда AE = 9, EB = 15 - 9 = 6. В прямоугольном треугольнике ADE, $$AD^2 = DE^2 + AE^2$$. В прямоугольном треугольнике DBE, $$DB^2 = DE^2 + EB^2$$.
7. Используем диагональ: Проведем диагональ AC = 17. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной AD, основанием AB и диагональю DB.
8. Вернемся к построению: Проведем высоту из вершины C на большее основание AB. Обозначим эту высоту как $$h$$. Тогда у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 (диагональ AC), одним катетом, равным меньшему основанию (9), и другим катетом, который является высотой ($$h$$). Это неверно.
9. Правильное построение: Проведем высоту из вершины C на большее основание AB. Пусть эта высота будет $$h$$. Отрезок, который отсекает высота на большем основании, равен разности оснований: $$15 - 9 = 6$$.
10. Прямоугольный треугольник: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей диагональю (17), высотой ($$h$$) и отрезком на большем основании, который равен 9 (меньшее основание). Это неверно.
11. Правильный подход: В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой. Пусть основания $$a=15$$ и $$b=9$$. Большая диагональ $$d=17$$. Обозначим высоту как $$h$$.
12. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Проведем высоту из вершины C к основанию AB. Отрезок, отсекаемый на AB, будет равен $$15 - 9 = 6$$. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это диагональ AC=17, один катет - это высота $$h$$, а другой катет - отрезок на основании $$15-9=6$$.
13. Теорема Пифагора: $$h^2 + (15-9)^2 = 17^2$$
14. Вычисления: $$h^2 + 6^2 = 17^2 ightarrow h^2 + 36 = 289 ightarrow h^2 = 289 - 36 = 253$$.
15. Высота: $$h = \sqrt{253}$$ см.
16. Площадь трапеции: $$S = \frac{a+b}{2} \times h = \frac{15+9}{2} \times \sqrt{253} = \frac{24}{2} \times \sqrt{253} = 12\sqrt{253}$$ см$$^2$$.

Ответ: $$12\sqrt{253}$$