В2. 4) На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 4 см, ∠BMP = 60°. Чему равен периметр четырёхугольника PMEK?

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда BM = 4 см, а отрезок MP имеет перпендикулярные составляющие a − 4 и 4. Угол BMP расположен между MB и MP, поэтому cos ∠BMP = BM/MP.

Из ∠BMP = 60° получаем MP = 4/cos 60° = 8 см.

По теореме Пифагора: MP² = (a − 4)² + 4². Значит, 64 = (a − 4)² + 16, откуда a − 4 = 4√3.

Для остальных сторон четырёхугольника получаются такие же перпендикулярные составляющие 4 и a − 4. Поэтому PM = ME = EK = KP = 8 см.

Периметр PMEK равен 4 · 8 = 32 см.

Ответ: 32 см.