В2. Периметр равнобедренного треугольника равен 26см, разность двух сторон равна 5 см, а один из его внешних углов - острый. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a, a, b \).

Периметр: \( 2a + b = 26 \) см.

Рассмотрим два случая разности сторон:

Случай 1: Разность основания и боковой стороны равна 5 см.

\( |a - b| = 5 \)

Подслучай 1.1: \( a - b = 5 \) => \( a = b + 5 \).

Подставим в периметр: \( 2(b + 5) + b = 26 \) => \( 2b + 10 + b = 26 \) => \( 3b = 16 \) => \( b = 16/3 \) см.

Тогда \( a = 16/3 + 5 = 16/3 + 15/3 = 31/3 \) см.

Стороны: \( 31/3, 31/3, 16/3 \) см. Проверим внешний угол. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если они острые, то внешний угол при вершине тупой. Если они тупые, то это невозможно (сумма углов <180). Значит, углы при основании острые. Внешний угол при вершине может быть острым, если угол при вершине тупой, что невозможно, так как сумма двух углов при основании будет меньше 0. Поэтому внешний угол может быть острым только при основании, если угол при основании тупой, что также невозможно.

Подслучай 1.2: \( b - a = 5 \) => \( b = a + 5 \).

Подставим в периметр: \( 2a + (a + 5) = 26 \) => \( 3a + 5 = 26 \) => \( 3a = 21 \) => \( a = 7 \) см.

Тогда \( b = 7 + 5 = 12 \) см.

Стороны: 7, 7, 12 см. Проверим внешний угол. Углы при основании равны \( \alpha \), угол при вершине \( \beta \). \( 2\alpha + \beta = 180° \). Если \( \alpha \) острый, то \( \beta \) может быть как острым, так и тупым. Если \( \beta \) острый, то \( \alpha \) тупой, что невозможно. Внешний угол при основании равен \( 180° - \alpha \). Если \( \alpha \) острый, то внешний угол тупой. Внешний угол при вершине равен \( 180° - \beta \). Если \( \beta \) острый, то внешний угол тупой. Если \( \beta \) тупой, то внешний угол острый. Значит, угол при вершине \( \beta \) должен быть тупым, а внешний угол при вершине — острым. Для \( \beta \) тупого, \( 2\alpha < 90° \) => \( \alpha < 45° \). В нашем случае \( \cos \alpha = \frac{b/2}{a} = \frac{12/2}{7} = \frac{6}{7} \). \( \alpha = \arccos(6/7) \approx 31° \). \( \beta = 180° - 2 \times 31° = 180° - 62° = 118° \) (тупой). Внешний угол при вершине = \( 180° - 118° = 62° \) (острый). Этот случай подходит.

Случай 2: Разность двух боковых сторон равна 5 см.

\( a - a = 0 \). Это невозможно, так как разность равна 5 см.

Ответ: Стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 12 см.