В2. Вольтметр с пределом измерения на Uпред = 20 В имеет некоторое внутреннее сопротивление. При подключении последовательно с вольтметром резистора с сопротивлением R = 237 МОм предел напряжения этим вольтметром увеличивается. Чему равно внутреннее сопротивление r вольтметра?

Решение:

Пусть \( U_{пред} \) — предел напряжения вольтметра, \( R_{вн} \) — внутреннее сопротивление вольтметра, \( R \) — сопротивление внешнего резистора.

Первоначально предел измерения вольтметра равен \( U_{пред} = 20 \) В. Это значит, что при полном отклонении стрелки ток через вольтметр равен \( I_{полн} = \frac{U_{пред}}{R_{вн}} \).

При подключении последовательно резистора \( R \), общее сопротивление цепи становится \( R_{общ} = R_{вн} + R \). Предел напряжения увеличивается, то есть новый предел \( U'_{пред} \) равен \( U'_{пред} = I_{полн} · (R_{вн} + R) \).

Подставим \( I_{полн} \): \( U'_{пред} = \frac{U_{пред}}{R_{вн}} · (R_{вн} + R) = U_{пред} · (1 + \frac{R}{R_{вн}}) \).

Нам дано: \( U_{пред} = 20 \) В, \( R = 237 \) МОм. По условию, предел напряжения увеличивается, но конкретное новое значение не дано. Предполагается, что речь идет о том, что вольтметр теперь может измерять до 20В с подключенным резистором, тогда новое значение предела должно быть другим. Однако, в задаче указано, что предел напряжения УВЕЛИЧИВАЕТСЯ. Если принять, что предел измерения увеличивается в два раза (что часто бывает при таком включении), то \( U'_{пред} = 2 · U_{пред} \). Но без точного нового предела измерять невозможно. Есть стандартная задача, где предел напряжения увеличивается в 2 раза. В таком случае \( 2 · 20 \) В = 40 В. Тогда \( 40 = 20 · (1 + \frac{237}{R_{вн}}) \).

\( 2 = 1 + \frac{237}{R_{вн}} \) \( 1 = \frac{237}{R_{вн}} \) \( R_{вн} = 237 \) МОм.

Если принять, что предел напряжения увеличивается в 238 раз (например, новое значение 20В + 237 МОм, что маловероятно), то \( U'_{пред} = 20 · (1 + \frac{237}{R_{вн}}) \). Предположим, что новое показание вольтметра при полной шкале равно \( U'_{пр} \). Тогда \( U'_{пр} = I_{полн} · (R_{вн} + R) \). Если предел измерения увеличивается, то \( U'_{пр} > U_{пр} \).

Переформулируем задачу: вольтметр с внутренним сопротивлением \( R_{вн} \) и пределом \( U_{пр} = 20 \) В. При последовательном включении резистора \( R = 237 \) МОм, вольтметр показывает \( U_{пр} \) при токе \( I_{полн} = \frac{U_{пр}}{R_{вн}} \). Новое напряжение, которое может быть измерено, равно \( U'_{пр} = I_{полн} · (R_{вн} + R) \). Если предел напряжения УВЕЛИЧИВАЕТСЯ, это значит, что теперь вольтметр может измерять большее напряжение. Часто в таких задачах имеется в виду, что новое значение предела напряжения является суммой старого предела и сопротивления внешнего резистора, умноженного на полный ток. Но это некорректно. Правильно: \( U'_{пр} = I_{полн} · (R_{вн} + R) = \frac{U_{пр}}{R_{вн}} · (R_{вн} + R) = U_{пр} (1 + \frac{R}{R_{вн}}) \). Если предел измерения увеличивается, то \( U'_{пр} \) — это новое максимальное напряжение. Если принять, что новое значение предела напряжения равно \( 20 · 237 \) (что маловероятно, так как \( R \) - это миллионы ом), то \( 20 · 237 = 20 (1 + \frac{237}{R_{вн}}) \). \( 237 = 1 + \frac{237}{R_{вн}} \). \( 236 = \frac{237}{R_{вн}} \). \( R_{вн} = \frac{237}{236} \) МОм. Это очень близко к 1 МОм, что сомнительно.

Наиболее вероятный сценарий, что предел напряжения увеличивается в \( 1 + \frac{R}{R_{вн}} \) раз. Если предел увеличился в \( 237+1=238 \) раз, то \( R_{вн} = 1 \) МОм. Если принять, что новое значение предела измерения равно \( 20+237 \) В, то \( 20+237 = 20(1 + \frac{237}{R_{вн}}) \), \( 257 = 20 + 20 \frac{237}{R_{вн}} \), \( 237 = 20 \frac{237}{R_{вн}} \), \( 1 = \frac{20}{R_{вн}} \), \( R_{вн} = 20 \) МОм.

Исходя из формулировки "предел напряжения этим вольтметром увеличивается", можно предположить, что новое значение предела измерения равно \( U'_{пред} \). Если \( R=237 \) МОм, а \( U_{пред} = 20 \) В, то \( U'_{пред} = 20 (1 + \frac{237}{R_{вн}}) \). Если новый предел измерения равен \( 20 + 237 \) = 257 В, то \( 257 = 20 (1 + \frac{237}{R_{вн}}) \). \( 12.85 = 1 + \frac{237}{R_{вн}} \). \( 11.85 = \frac{237}{R_{вн}} \). \( R_{вн} = \frac{237}{11.85} ≈ 20 \) МОм.

Если принять, что предел измерения увеличился в \( 1 + \frac{R}{R_{вн}} \) раз, то \( R_{вн} \) должно быть меньше \( R \). Если \( R_{вн} \) = 237 МОм, то предел увеличится в 2 раза. Если \( R_{вн} \) = 20 МОм, то предел увеличится в \( 1 + \frac{237}{20} = 1 + 11.85 = 12.85 \) раз.

Наиболее вероятный ответ, если принять, что предел напряжения увеличился в \( 1 + R/R_{вн} \) раз, и \( R_{вн} \) = 20 МОм.

Ответ: 20 МОм.