В4. Множество A ∩ B̄ обозначают A \ B и называют разностью множеств A и B. Это множество состоит из всех элементов множества A, которые не являются элементами множества B. Докажите тождество: а) A \ B̄ = A ∩ B; б) Ā \ B = overline(A ∪ B̄).

Пусть дополнения берутся относительно одного и того же универсального множества.

а) По определению разности: элемент принадлежит A \ B̄ тогда и только тогда, когда он принадлежит A и не принадлежит B̄. Не принадлежать дополнению B̄ — значит принадлежать B. Следовательно, A \ B̄ = A ∩ B.

б) По определению разности, Ā \ B = Ā ∩ B̄. По закону де Моргана Ā ∩ B̄ = overline(A ∪ B). Поэтому равенство в видимом условии, если в нём справа действительно стоит overline(A ∪ B̄), неверно: его правая часть равна Ā ∩ B, а не Ā ∩ B̄. Вероятно, в печатном условии имеется опечатка или неразборчивая черта над B.

Исправленное тождество: Ā \ B = overline(A ∪ B).