В4. В институте 9500 студентов. Каждый изучает хотя бы один из двух иностранных языков: английский или французский. Английский язык изучают 70% студентов, а 40% - французский. Сколько студентов изучают оба языка?

Решение:

Обозначим:

• \( N \) — общее число студентов, \( N = 9500 \)
• \( A \) — множество студентов, изучающих английский язык.
• \( F \) — множество студентов, изучающих французский язык.
• \( |A| \) — число студентов, изучающих английский язык.
• \( |F| \) — число студентов, изучающих французский язык.
• \( |A \cup F| \) — число студентов, изучающих хотя бы один язык.
• \( |A \cap F| \) — число студентов, изучающих оба языка.

По условию, каждый студент изучает хотя бы один язык, значит \( |A \cup F| = N = 9500 \).

Число студентов, изучающих английский язык:

\( |A| = 70\% \text{ от } 9500 = 0,70 \cdot 9500 = 6650 \) студентов.

Число студентов, изучающих французский язык:

\( |F| = 40\% \text{ от } 9500 = 0,40 \cdot 9500 = 3800 \) студентов.

Используем формулу включения-исключения:

\( |A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F| \)

Подставим известные значения:

\( 9500 = 6650 + 3800 - |A \cap F| \)

\( 9500 = 10450 - |A \cap F| \)

Найдем \( |A \cap F| \):

\( |A \cap F| = 10450 - 9500 \)

\( |A \cap F| = 950 \) студентов.

Ответ: 950