В4. В равнобедренной трапеции боковая сторона 24 см, а диагональ делит среднюю линию на два отрезка, равные 7 см и 19 см. Найдите градусную меру наименьшего угла трапеции.

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Обозначим основания как $$a$$ и $$b$$. Тогда средняя линия равна $$\frac{a+b}{2}$$.
2. Диагональ делит среднюю линию на отрезки, равные 7 и 19. Это означает, что полуразность оснований равна разности этих отрезков: $$|rac{a-b}{2}| = |19-7| = 12$$.
3. Имеем систему уравнений: $$\frac{a+b}{2} = 19+7 = 26$$ и $$|rac{a-b}{2}| = 12$$. Решая ее, находим основания: $$a=38$$ и $$b=14$$ (или наоборот).
4. В равнобедренной трапеции, опустив высоту из вершины меньшего основания на большее, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 и катетом $$\frac{38-14}{2} = 12$$.
5. Косинус угла при большем основании равен $$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$. Следовательно, наименьший угол трапеции равен $$60^{\circ}$$.