2. Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько же рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количества рыб, пойманных юношами, образовали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?

Пусть количество рыб, пойманных Ваней, Мишей, Аликом и Вадимом, равно \(a\), \(a+d\), \(a+2d\), \(a+3d\) соответственно. Тогда, если бы Алик поймал столько же, сколько Вадим (\(a+3d\)), а Вадим поймал бы на 12 рыб больше (\(a+3d+12\)), то последовательность стала бы геометрической прогрессией: \(a\), \(a+d\), \(a+3d\), \(a+3d+12\). Для геометрической прогрессии выполняется условие: \(\frac{a+d}{a} = \frac{a+3d}{a+d} = \frac{a+3d+12}{a+3d}\) Рассмотрим первое равенство: \(\frac{a+d}{a} = \frac{a+3d}{a+d}\) \((a+d)^2 = a(a+3d)\) \(a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 3ad\) \(d^2 = ad\) Поскольку \(d\) не может быть равно 0 (иначе это не прогрессия), то \(d = a\). Теперь рассмотрим второе равенство: \(\frac{a+3d}{a+d} = \frac{a+3d+12}{a+3d}\) Подставим \(d=a\): \(\frac{a+3a}{a+a} = \frac{a+3a+12}{a+3a}\) \(\frac{4a}{2a} = \frac{4a+12}{4a}\) \(2 = \frac{4a+12}{4a}\) \(8a = 4a + 12\) \(4a = 12\) \(a = 3\) Значит, \(d = 3\). Тогда количество рыб, пойманных Мишей, равно \(a+d = 3+3 = 6\). **Ответ: 6**