Вариант 8. lim x→1 x³-1 5x²-4x-1

Необходимо вычислить предел функции при x, стремящемся к 1.

$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{5x^2 - 4x - 1} $$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $$ $$ 5x^2 - 4x - 1 = (x - 1)(5x + 1) $$

Подставим разложение в предел:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(5x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{5x + 1} $$

Сократили общий множитель (x-1). Теперь подставим x = 1:

$$ \frac{1^2 + 1 + 1}{5(1) + 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 $$

Ответ: 0.5